求定积分常用技巧
**1. 直接应用牛顿-莱布尼茨公式****2. 换元法（变量替换）****3. 分部积分法****4. 利用对称性（奇偶函数）****5. 周期函数的积分****6. 区间再现公式****7. 利用几何意义****8. 特殊函数积分****9. 递推公式****10. 综合技巧：拆分与组合****总结表**
求定积分是微积分中的重要内容，掌握一些常用技巧可以大大简化计算过程。以下是几种常用的定积分技巧，按难度和应用场景分类整理，并配有示例：
1. 直接应用牛顿-莱布尼茨公式
适用场景：被积函数的原函数容易求出。 步骤：先求不定积分，再代入上下限计算差值。 示例：
∫
0
1
x
2
d
x
=
[
x
3
3
]
0
1
=
1
3
−
0
=
1
3
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}
∫01x2dx=[3x3]01=31−0=31
2. 换元法（变量替换）
适用场景：被积函数含复合函数或可通过换元简化。 关键：换元后需同步调整积分限，无需回代原变量。 示例：
∫
0
π
/
2
sin
x
cos
x
d
x
\int_0^{\pi/2} \sin x \cos x \, dx
∫0π/2sinxcosxdx 令
u
=
sin
x
u = \sin x
u=sinx，则
d
u
=
cos
x
d
x
du = \cos x \, dx
du=cosxdx。 当
x
=
0
x = 0
x=0，
u
=
0
u = 0
u=0；当
x
=
π
/
2
x = \pi/2
x=π/2，
u
=
1
u = 1
u=1。
∫
0
1
u
d
u
=
[
u
2
2
]
0
1
=
1
2
\int_0^1 u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}
∫01udu=[2u2]01=21
3. 分部积分法
适用场景：被积函数为两函数乘积（如多项式×指数/三角函数）。 公式：
∫
a
b
u
d
v
=
[
u
v
]
a
b
−
∫
a
b
v
d
u
\int_a^b u \, dv = [uv]_a^b - \int_a^b v \, du
∫abudv=[uv]ab−∫abvdu 示例：
∫
0
1
x
e
x
d
x
\int_0^1 x e^x \, dx
∫01xexdx 设
u
=
x
u = x
u=x，
d
v
=
e
x
d
x
dv = e^x dx
dv=exdx，则
d
u
=
d
x
du = dx
du=dx，
v
=
e
x
v = e^x
v=ex。
[
x
e
x
]
0
1
−
∫
0
1
e
x
d
x
=
(
e
−
0
)
−
(
e
1
−
e
0
)
=
1
[xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = (e - 0) - (e^1 - e^0) = 1
[xex]01−∫01exdx=(e−0)−(e1−e0)=1
4. 利用对称性（奇偶函数）
适用场景：积分区间关于原点对称（如
[
−
a
,
a
]
[-a, a]
[−a,a]）。
偶函数（
f
(
−
x
)
=
f
(
x
)
f(-x) = f(x)
f(−x)=f(x)）：
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
=
2
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
\int_{-a}^a f(x) dx = 2 \int_0^a f(x) dx
∫−aaf(x)dx=2∫0af(x)dx奇函数（
f
(
−
x
)
=
−
f
(
x
)
f(-x) = -f(x)
f(−x)=−f(x)）：
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
\int_{-a}^a f(x) dx = 0
∫−aaf(x)dx=0 示例：
∫
−
1
1
x
3
cos
x
d
x
=
0
(
被积函数为奇函数
)
\int_{-1}^1 x^3 \cos x \, dx = 0 \quad (\text{被积函数为奇函数})
∫−11x3cosxdx=0(被积函数为奇函数)
5. 周期函数的积分
适用场景：被积函数为周期函数（如三角函数）。 性质：
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
(
T
为周期
)
\int_a^{a+T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx \quad (T \text{为周期})
∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(T为周期) 示例：
∫
π
3
π
sin
x
d
x
=
∫
0
2
π
sin
x
d
x
=
0
\int_\pi^{3\pi} \sin x \, dx = \int_0^{2\pi} \sin x \, dx = 0
∫π3πsinxdx=∫02πsinxdx=0
6. 区间再现公式
适用场景：积分区间对称或需巧妙换元。 公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
a
b
f
(
a
+
b
−
x
)
d
x
\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx
∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx 示例：
I
=
∫
0
π
/
2
sin
x
sin
x
+
cos
x
d
x
I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx
I=∫0π/2sinx+cosxsinxdx 令
x
=
π
2
−
t
x = \frac{\pi}{2} - t
x=2π−t，则：
I
=
∫
0
π
/
2
cos
t
sin
t
+
cos
t
d
t
I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\sin t + \cos t} dt
I=∫0π/2sint+costcostdt 两式相加得：
2
I
=
∫
0
π
/
2
1
d
x
=
π
2
⟹
I
=
π
4
2I = \int_0^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{2} \implies I = \frac{\pi}{4}
2I=∫0π/21dx=2π⟹I=4π
7. 利用几何意义
适用场景：被积函数图像为规则图形（如圆、三角形）。 示例：
∫
−
1
1
1
−
x
2
d
x
=
π
2
(
单位半圆面积
)
\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \quad (\text{单位半圆面积})
∫−111−x2
dx=2π(单位半圆面积)
8. 特殊函数积分
适用场景：含绝对值、分段函数或特殊定义。 示例：
∫
−
1
2
∣
x
∣
d
x
=
∫
−
1
0
(
−
x
)
d
x
+
∫
0
2
x
d
x
=
1
2
+
2
=
5
2
\int_{-1}^2 |x| \, dx = \int_{-1}^0 (-x) dx + \int_0^2 x \, dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}
∫−12∣x∣dx=∫−10(−x)dx+∫02xdx=21+2=25
9. 递推公式
适用场景：被积函数含高次幂（如
sin
n
x
\sin^n x
sinnx、
ln
n
x
\ln^n x
lnnx）。 示例： 设
I
n
=
∫
0
π
/
2
sin
n
x
d
x
I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx
In=∫0π/2sinnxdx，则递推公式为：
I
n
=
n
−
1
n
I
n
−
2
,
I
0
=
π
2
,
I
1
=
1
I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}, \quad I_0 = \frac{\pi}{2}, \quad I_1 = 1
In=nn−1In−2,I0=2π,I1=1
10. 综合技巧：拆分与组合
适用场景：复杂积分拆分为简单部分。 示例：
∫
0
1
x
4
+
1
x
2
+
1
d
x
=
∫
0
1
(
x
2
−
1
+
2
x
2
+
1
)
d
x
=
[
x
3
3
−
x
+
2
arctan
x
]
0
1
=
1
3
−
1
+
π
2
=
π
2
−
2
3
\int_0^1 \frac{x^4 + 1}{x^2 + 1} dx = \int_0^1 \left( x^2 - 1 + \frac{2}{x^2+1} \right) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x + 2 \arctan x \right]_0^1 = \frac{1}{3} - 1 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}
∫01x2+1x4+1dx=∫01(x2−1+x2+12)dx=[3x3−x+2arctanx]01=31−1+2π=2π−32
总结表
技巧名称适用场景关键操作牛顿-莱布尼茨原函数易求直接计算
F
(
b
)
−
F
(
a
)
F(b) - F(a)
F(b)−F(a)换元法含复合函数换元并调整积分限分部积分乘积函数选择
u
u
u 和
d
v
dv
dv奇偶性对称区间利用
f
(
−
x
)
=
±
f
(
x
)
f(-x) = \pm f(x)
f(−x)=±f(x)几何意义规则图形转化为面积/体积
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